Чи потрібно знати математику і її застосування в галузі аналізу соціально-економічних процесів економісту, соціологу і іншим представникам гуманітарних професій? А якщо потрібно, то в якій мірі? Питання далеко не пусті: на практиці при вирішенні багатьох конкретних управлінських проблем часто беруть верх формалізації фактори, а застосування математики зводиться до використання лише чотирьох дій арифметики. Зараз у це важко повірити, але всього 70 років тому подібні ж питання гостро обговорювалися при розробці навчальних програм технічних вузів. Видатний російський математик академік А. Н. Крилов, обгрунтовуючи необхідність глибокого математичної освіти інженерів, висловив у своїй доповіді "Прикладна математика", що відбулася влітку 1931 р. надзвичайної сесії Академії наук СРСР наступний аргумент, який, думаю, буде цікавий читачам:
"... За тисячоліття від 500 до 1500 року ми можемо простежити значний розвиток техніки, хоча ... навіть правило простого додавання сил, зване правилом паралелограма сил, відомо не було. Це ще більше вкорінюється свідомість, що математика по суті є "переливання з пустого в порожнє", бо все, що в ній є, взято з її основних аксіом, які здавалися до тривіальності очевидними, наприклад, дві речі, порізно рівні третьої, рівні між собою, ціле більше своєї частини і т.п. - Значить, всеосяжний розум бачив би відразу в цих аксіомах і всі їхні наслідки, тобто всю математику.
Так, але це бачив би розум всеосяжний, а відомо, що розум людський обмежений - дурість безмежна; математика і потрібна розуму обмеженому як підмогу для правильних висновків "[1].
Математика в економіці
Програми математики в соціально-економічних науках розвивалися паралельно з розвитком самої математики, а перші досліди побудови математичних моделей в суспільних науках пов'язані з використанням фізичних аналогій при вивченні соціальних процесів в XVII-XVIII ст., Які заклали основу "соціальної фізики". При цьому, спираючись, наприклад, на один і той же закон гравітації, різні вчені приходили до різних соціальних моделях. Так, голландський соціолог Г. Гроцій (1583-1645) вважав, що люди за своєю природою тяжіють один до одного, а Б. Спіноза (1632-1677) вважав, що вони один одного відштовхують. Багато сучасні поняття економіки теж мають давню історію. Наприклад, ще в статті Д. Бернуллі про Санкт-Петербурзькому парадоксі (1738) був обгрунтований принцип "нижчій граничною корисності".
Прийнято вважати, що математичне моделювання як метод аналізу макроекономічних процесів уперше застосовано лейб-медиком короля Людовіка XV доктором Ф. Кене, який в 1758 р. опублікував роботу "Економічна таблиця". У ній була зроблена перша спроба кількісно описати національну економіку.
Одне з перших логічно послідовних викладів математичної моделі економіки було виконано в книзі О. Курно "Дослідження математичних принципів теорії багатства", опублікованій у Франції в 1838 р. У цій роботі, що поклала початок сучасній математичній економіці, вперше використані кількісні методи для аналізу конкуренції між товарами при різних ринкових ситуаціях (зокрема, побудована динамічна модель дуополії).
У наступні роки відбувалася інтенсивна математизація економічної теорії. Наприклад, у книзі У. Джевонса "Короткий опис загальної математичної теорії політичної економії" (1862) викладена одна з перших версій теорії корисності. Про роль і значення методу математичного моделювання при дослідженні економічних процесів у другій половині XIX ст. найкраще свідчить такий факт, наведений сучасним істориком економічної науки М. Блауг: серед видатних економістів цього періоду "тільки Кларк і Бем-Баверк зуміли внести фундаментальний внесок в економічну теорію без використання або знання математики" [2]. Примітно, що практично всі лауреати Нобелівської премії з економіки теж зверталися до математичних методів у своїх наукових дослідженнях.
Успішне застосування математики в економіці на рубежі XIX-XX ст. стимулювало математизацію та інших суспільних наук. Наприклад, в цей час Ф. Еджворт опублікував книгу "Математична психологія", а В. Парето розробив основи теорії еліт.
Треба сказати, що питання об'єктивного аналізу соціально-економічних процесів завжди були в центрі уваги вітчизняних вчених. Незважаючи на відомі труднощі післяжовтневого періоду, економічна наука в Росії постійно розвивалася, а багато її результати стали надбанням світової культури. До них насамперед слід віднести: проведений Є. Є. Слуцьким аналіз моделі поведінки споживача; відкриття Н. Д. Кондратьєвим довгих хвиль в економіці; розробку першого балансу народного господарства СРСР у 1923-1924 рр.., На основі якого була побудована широко відома нині модель В. В. Леонтьєва; розвиток Л. В. Канторовичем методів дослідження лінійних систем. На жаль, до цих пір метод математичного моделювання соціально-економічних процесів застосовувався (і застосовується) переважно в наукових розробках, а рекомендації вчених часто просто ігнорувалися на всіх рівнях управління.
Причини зневажливого ставлення до наукового аналізу наслідків управлінських рішень мають глибоке коріння (як об'єктивні, так і суб'єктивні), а опір, який зустрічає метод математичного моделювання при аналізі соціально-економічних проблем, - більш ніж вікову історію. Наприклад, в 1890-х роках проти використання Л. Вальрасом математичних моделей у курсі політичної економії виступало переважна більшість його колег по лозаннським університету.
Основні перешкоди, що стоять на шляху розвитку формалізованих методів у соціально-економічних науках, носять у великій мірі суб'єктивний характер. Про головну з них сказав П. Л. Капіца на міжнародному симпозіумі з планування науки ще в 1959 р. Розмірковуючи про розвиток суспільних наук, він використовував аналогію з положенням природничих наук в середні століття, коли
"Церква брала на себе монополію схоластично-догматичного тлумачення всіх явищ природи, рішуче відкидаючи все, що хоч найменшою мірою суперечило канонічним пісаніямј Зараз існує велика різноманітність державних структур, які визнають за істину тільки те в суспільних науках, що доводить доцільність цих структур. Природно, що за таких умов розвиток суспільних наук сильно пригнічений "[3].
На жаль, більш ніж за 40 років ці слова не втратили своєї актуальності.
Суть математичного моделювання полягає в заміні досліджуваного економічного об'єкта (процесу) адекватної математичної моделлю і наступному дослідженні властивостей цієї моделі за допомогою яких аналітичних методів, або обчислювальних експериментів. Слабке уявлення про можливості математичного моделювання призводить до емоційної реакції на невідповідність очікувань і конкретних результатів соціально-економічної політики, заснованої на використанні неадекватних моделей: "економічні закони в Росії не діють", "розумом Росію не зрозуміти", "моделювання в наших умовах безглуздо" і т.д. Але ж це все одно, що розраховувати траєкторію руху балістичної ракети по формулі з шкільного підручника фізики, а потім обурюватися розбіжністю теорії і практики.
Якими бувають моделі
До теперішнього часу в економічній теорії міцно закріпилися різні моделі взаємодії ринків робочої сили, товарів і грошей, моделі однопродуктовой і багатопродуктової фірм, модель поведінки споживача і багато інших. Ці моделі - результат розвитку математичної економіки як частини математичної науки. Про значення математичної економіки, яка почала інтенсивно розвиватися лише на початку ХХ ст., Чудово сказав один з основоположників сучасної економічної теорії А. Маршалл:
"... Коли доводиться використовувати занадто багато символів, розбирати їх стає важко всім, крім самого автора. Правда, геній Курно повинен надати новий стимул розумової діяльності всіх, хто відчуває на собі вплив його праць, а рівні йому за рівнем математики в змозі використати своє улюблене зброю, щоб пробити собі дорогу до самої суті тих найважчих проблем економічної теорії, які до цих пір порушувалися вельми поверхнево "[4].
Істотно, що переважна більшість економічних процесів протікає в часі, внаслідок чого математичні моделі, адекватні об'єкту дослідження, повинні бути динамічними. Один з традиційних підходів до прогнозу розвитку динамічних економічних процесів - квазістаціонарний. У рамках такого підходу аналізується, як зміщується точка рівноваги відповідної динамічної моделі при зміні тих чи інших параметрів останньої. Чудово розуміючи, що економічні процеси слід вивчати в динаміці, Маршалл виправдовував використання квазістаціонарного підходу тим, що "наш аналіз все ще перебуває в дитячому віці". При цьому він зазначав, що слова "природа не робить стрибків" особливо підходять як епіграф до робіт про основи економічної науки.
У макроекономіці квазістаціонарний підхід спирається на ключову концепцію класичної політекономії - "невидиму руку" Адама Сміта. Ця концепція є гіпотезу про існування на конкурентних ринках автоматичного рівноважного механізму. Інакше кажучи, при використанні квазістаціонарного підходу розвиток будь-якої складної економічної системи (тут слово "система" розуміється не в політичному, а кібернетичному сенсі) розглядається як зміна одного стійкого стану іншим з коротким періодом переходу від одного до іншого.
Слід підкреслити, що складним економічним системам відповідають моделі, істотно нелінійні. Тому квазістаціонарний підхід ефективний лише до пори до часу, поки в силу деяких причин характер стаціонарного стану не зміниться кардинальним чином. Подібні зміни, звані біфуркації, належать уже до області додатків методів нелінійного динамічного аналізу. Розвиток цього напрямку досліджень призводить до все більшого розповсюдження точки зору, згідно з якою оточуючий нас світ - це постійний розвиток, вічна нестійкість, а періоди стабілізації - короткі миті на шляху руху вперед.
Динамічні математичні моделі, що добре зарекомендували себе спочатку у фізиці, а потім у біології, все ширше застосовуються в соціології та економіці [5, 6, 7]. До теперішнього часу методологія аналізу нелінійних динамічних систем оформилася в новий науковий напрям, націлене на пошуки спільних принципів еволюції і самоорганізації складних систем в різних галузях знання. Загальним ланкою, що пов'язує абсолютно різні явища, і стають нелінійні динамічні математичні моделі *. Поняття "катастрофа", "біфуркація", "граничний цикл", "дивний атрактор", "дисипативна структура", "хвиля, що біжить" і т.д., що виникли при використанні порівняно простих нелінійних моделей, дозволяють глибше проникнути в суть багатьох процесів. Фізика, хімія, біологія багаторазово демонструють приклади успішного застосування цієї методології. До них можна віднести: хвилі горіння; фазові переходи між агрегатними станами речовини; структури в середовищах при наявності автокаталітіческіх реакцій; турбулентні течії рідини; коливання чисельності природних популяцій та ін
* Докладно про історію і перспективи методів нелінійної динаміки див.: Малінецкій Г.Г. Новий вигляд нелінійної динаміки / / Природа. 2001. № 3. С.3-12.
Не дивно, що ця універсальна методологія, що виникла порівняно недавно і добре зарекомендувала себе в природознавстві, стала проникати в традиційно гуманітарні науки, і в першу чергу в економіку.
Складність поведінки динамічної системи обумовлена її нелінійністю і багатомірністю. Однак складна і навіть хаотичне (квазістохастіческое) поведінка можуть демонструвати і найпростіші одномірні системи з дискретним часом, властивості яких описуються рекурентними співвідношеннями нелінійних точкових відображень. Розглянемо узагальнену динамічну макроекономічну модель Кейнса-Фрідмена, яка детально описана в моїй монографії [8].
Про стійкість ринкових механізмів
Класична теорія аж до перших десятиліть ХХ ст. служила досить добре і для розуміння макроекономічних процесів, і для обгрунтування державної економічної політики. Загальний принцип економічної поведінки держави був сформульований у вигляді принципу нейтральності по відношенню до економічної діяльності приватних осіб - як фізичних, так і юридичних. Згідно з цим принципом, держава повинна була мінімізувати несприятливі економічні наслідки своєї власної діяльності і утримуватися від безпосереднього впливу на прийняття рішень суб'єктів, що діють в умовах конкуренції. Отже, завдання держави у сфері економічної політики полягала в забезпеченні умов функціонування конкурентного ринку, при цьому державний бюджет повинен був постійно орієнтуватися на рівність доходів і витрат.
Однак класична теорія не могла дати пояснень багатьох проблем, що виникли після першої світової війни, і особливо під час економічної кризи 30-х років. Так, наприклад, у відповідності з нею вимушене безробіття не повинна була мати місця у Великобританії в 1931-1935 рр.. Між тим у цей період безробіття там жодного разу не опускалася нижче 20%. Для пояснення нових економічних проблем робилися різні спроби удосконалити теорію, але лише теорія англійського економіста Дж. М. Кейнса, який стверджував, що економіка не може існувати на основі саморегулювання і що держава повинна взяти на себе завдання управління економічними процесами, отримала найбільше визнання.
Це завдання, за Кейнсом, зводилася головним чином до того, щоб підтримувати і стимулювати попит, для чого необхідно створювати умови, при яких товаровиробникам було б вигідно робити інвестиції і розширювати виробництво, збільшуючи кількість робочих місць і тим самим скорочуючи безробіття. У короткий термін після опублікування Кейнсом своєї теорії [9] його ідеї були прийняті самими широкими колами фахівців, а економічна політика майже всіх західних країн стала спиратися на аналіз відповідних моделей.
Треба сказати, що кейнсіанська теорія сукупного попиту досить складна, оскільки включає практично всі агреговані макропоказники - як грошові, так і реальні. Основним припущенням цієї теорії служить гіпотеза: "Попит створює пропозицію". Ця помітна, а тому і добре запам'ятовується формула - по суті вираз іншого, менш виразного припущення, згідно з яким "підприємцям вигідно розширювати виробництво (а отже, збільшувати пропозицію) при наявності надмірного попиту". Сказане означає, що в теорії Кейнса закладено умову, згідно з яким національна економіка має потенціал для розширення виробництва (наприклад, є резерв робочої сили, обладнання, матеріалів і т.д.). На жаль, модель Кейнса часто застосовується для обгрунтування шляхів переходу до ринку, хоча її основне допущення свідомо не виконується, і, отже, модель ніякого відношення до реальної ситуації не має.
Гіпотеза "попит створює пропозицію" дозволяє побудувати цілу систему моделей, що пояснюють функціонування ринкової економіки. Розглянемо як приклад спрощений варіант кейнсіанської моделі, який тим не менш дає наочне уявлення про дію ринкових механізмів. У цій моделі, яку часто називають також моделлю мультиплікатора, аналізується один макроекономічний ринок - ринок товарів і послуг, а стан всієї економіки описується двома змінними. Перша змінна YS - вироблений національний дохід, який використовується на споживання і накопичення. Ця змінна трактується як пропозиція товарів і послуг. Друга змінна YD - сукупний попит на товари і послуги; вона являє собою суму двох складових: попиту на інвестиції I і попиту на поточне споживання C:
YD = I + C. (1)
Істотним допущенням моделі є те, що попит на поточне споживання C є зростаюча функція національного доходу: C = C (YS). При цьому вважають, що попит змінюється повільніше, ніж національний дохід, внаслідок чого похідна функції споживання C '(YS) - так звана гранична схильність до споживання - задовольняє умові 0 <C' (YS) <1.
У подальшому для спрощення аналізу моделі приймемо, як завжди, що попит на поточне споживання C змінюється за лінійним законом:
C (YS) = a + cYS, (2)
де а і c - позитивні константи (оскільки тут C '(YS) = c, то 0 <c <1).
Нехай до деякого моменту часу T економіка перебувала у стані рівноваги, тобто при t <T сукупний попит був рівний пропозиції: YD (t) = = YS (t). Що станеться, якщо з якої-небудь причини в момент T сукупний попит збільшиться (наприклад, за рахунок зростання попиту на інвестиції)?
Логіка спрощеній (канонічної) моделі Кейнса, використовуваної для одержання відповіді на це питання, така. По-перше, зі збільшенням попиту на інвестиції відбудеться зміщення лінії сукупного попиту, внаслідок чого система буде характеризуватися новим станом рівноваги. По-друге, зростання сукупного попиту приведе (в результаті дії гіпотези Кейнса "попит створює пропозицію") до збільшення пропозиції. Підвищена пропозиція (національного доходу), викликаного зростанням виробництва товарів і послуг, відповідає збільшилася значення сукупного попиту. Але так як гранична схильність до споживання менше одиниці, різниця між попитом і пропозицією скорочується. Цю різницю E = YD - YS називають надлишковим попитом на товари і послуги. Таким чином, позитивний надлишковий попит на товари і послуги викликає в кожний наступний момент часу зростання їх пропозиції, що призводить до скорочення надлишкового попиту. Точно так само, якщо надмірний попит негативний, відбувається скорочення національного доходу.
При формалізації описаного механізму у спрощеній моделі Кейнса зазвичай виходять з того, що національний дохід у момент t +1 дорівнює сукупному попиту в попередній момент t, тобто
YS (t +1) = YD (t), (3)
де t = T, T + 1, ј
Математики кажуть, що рівняння (3) задає ітераційний процес (одномірне відображення). Виникає питання, чи призведе цей процес до нового рівноважного значення національного доходу YE? Для отримання відповіді зручно ввести нову змінну yt = YS (t) - YE, яка дорівнює відхиленню поточного значення національного доходу від його нового рівноважного значення YE. Можна показати, що динаміка цієї змінної в силу рівнянь (1), (2) та (3) описується формулою геометричної прогресії:
yt +1 = cyt. (4)
А оскільки гранична схильність до споживання задовольняє умові 0 <с <1, то, як відомо зі шкільного курсу алгебри, рівняння (4) задає нескінченно спадаючу геометричну прогресію, внаслідок чого yt ® 0 при t ® Г. Тому національний дохід YS (t) спрямовується до свого нового рівноважного значення YE.
Розглянута нами динаміка національного доходу носить назву "мультиплікативний процес". Графічно цей процес зображується у вигляді ламаної лінії за допомогою так званого хреста Самуельсона-Хансена (рис.1). Тут лінія Y = YS (бісектриса координатного кута) є графіком функції пропозиції, а лінія Y = YD (YS), де YD (YS) = C (YS) + I - графіком функції сукупного попиту.
Рис.1. Мультиплікативний процес. Спочатку попит характеризувався прямий Y = YD, і система перебувала в стані рівноваги A. Потім попит зріс (пряма Y = YD), і в результаті ітераційного процесу (відповідні переходи показані кольором) система перейшла в новий стан рівноваги B.
Отже, дія гіпотези "попит створює пропозицію" наводить макроекономічну систему (в даному випадку ринок товарів і послуг) до нового стану рівноваги. Тому в методологічному плані спрощена модель Кейнса використовується в економічній теорії для демонстрації тези про дію ринкових механізмів, що призводять систему в стан рівноваги, якщо товаровиробникам вигідно робити інвестиції і розширювати виробництво при наявності надмірного попиту. Нагадаємо, що ключова гіпотеза Кейнса "попит створює пропозицію" висловлює дію саме цього механізму.
Спрощена модель Кейнса, викладена в такому вигляді практично у всіх підручниках макроекономіки, формує у читачів переконання, що макроекономічна система завжди стійка у вказаному вище сенсі і будь-яка зміна точки рівноваги пов'язано в кінцевому підсумку зі зміщенням функції попиту. Виявляється, проте, що одного дії розглянутого механізму недостатньо: новий стан рівноваги, як ми побачимо далі, може і не настати.
Народження хаосу
Статистичні дані, що характеризують динаміку національної економіки, говорять про нерівномірність розвитку: темпи економічного зростання змінюються в часі. Відкриття Кондратьєвим "довгих хвиль економіки" (про це свідчать періодичні спади і підйоми темпів зростання макроекономічних показників приблизно через кожні 50 років) дало імпульс для розвитку теорії циклів, в результаті чого в економічній теорії були розроблені різноманітні моделі, що мають властивість циклічності. До їх числа відноситься, наприклад, модель Самуельсона-Хікса, в якій коливання національного доходу пояснюються єдиною причиною - коливаннями сукупного попиту. Проте дія гіпотези Кейнса може і без додаткових припущень приводити до циклічної, а то й хаотичної динаміці змінних.
В якості прикладу розглянемо наступну модифікацію спрощеної моделі Кейнса, для побудови якої знову повернемося до її ключової гіпотезі. Як було сказано, традиційна, більше того - загальноприйнята трактування цього принципу формалізується за допомогою рівняння (3). Однак з гіпотези Кейнса зовсім не випливає, що значення пропозиції (національного доходу) в кожний наступний момент часу має бути дорівнює значенню попиту в попередній момент. Строго кажучи, вона визначає лише напрям зміни національного доходу, тому більш послідовної і загальною є така її формалізація: знаки збільшень національного доходу та надлишкового попиту збігаються. У цьому випадку зростання національного доходу відбувається, якщо попит вищий за пропозицію, а зниження національного доходу - якщо попит нижчий за пропозицію. Такому умові задовольняє не тільки розглянута модель, але і наступне, вже нелінійне, одномірне відображення:
YS (t +1) = YS (t) exp {g [YD (t)-YS (t)]}, (5)
де g> 0 - коефіцієнт реакції економіки на дисбаланс між попитом і пропозицією. Рівняння (5) може бути зведене чисто формально до рівняння Ріккера, що задає ітераційний процес:
yt +1 = Aytexp (-yt). (6)
Тут yt = qYS (t), де q = g (1 - c), A = exp (qYE).
Рівняння Ріккера (6) вперше було використано в математичній біології при аналізі динаміки популяцій. Воно має властивість біфуркації подвоєння періоду, яке полягає в наступному: при порівняно малих значеннях біфуркаційних параметра A рівноважний рішення рівняння стійко; при збільшенні цього параметра рівновага порушується - виникають цикли періоду 2, 4, 8 і т.д., а при ще більших значеннях біфуркаційних параметра настає детермінований хаос. Це добре видно на рис.2 і рис.3 (ліворуч), де ітераційний процес (6) зображений на площині при різних значеннях біфуркаційних параметра A з використанням графіків функцій y = xAe-x і y = x. Тут використовується той же прийом, що й при розгляді динаміки національного доходу в спрощеній моделі Кейнса (див. рис.1).
Рис.2. Динамічна спіраль - цикли періоду 2 (ліворуч) і 4. Тут з часом встановлюються цикли: мінлива yt приймає послідовно значення y1 і y2 (у першому випадку) або значення y1, y2, y3 і y4 (у другому). Переходи при ітераційному процесі показані кольором.
Рис.3. Детермінований хаос. Зліва зображено фазова діаграма, що характеризує динаміку змінної yt. Праворуч - відповідну зміну yt в часі.
Розглянемо уважно рис.3 (праворуч), де показана динаміка змінної yt на невеликому часу про м проміжку. У читача може скластися враження, що тут мінлива yt змінюється випадково, хаотично. Але так як динаміка системи описується детермінованим рівнянням (6), цю особливість стали називати детермінованим хаосом.
Для ілюстрації властивості біфуркації зручно використовувати біфуркаційні діаграми, які в разі одновимірного відображення являють собою безліч точок площини, абсциси яких дорівнюють значенням біфуркаційних параметра, а ординати - сталим значенням аналізованої змінної (рис. 4). На малюнку видно, як у міру зростання параметра A змінюється характер рішення. Спочатку рішення відповідає стану рівноваги, потім стає періодичним, з циклічними коливаннями змінної yt між двома значеннями (крива "роздвоюється"), і, нарешті, переходить до детермінованому хаосу (тонована область на діаграмі).
До цих пір ми говорили про одновимірному відображенні, що виникало при моделюванні динаміки національного доходу в дусі спрощеної моделі Кейнса. Однак макроекономіка - складна система, і її розвиток характеризується багатьма змінними. Ми розробили різні нелінійні динамічні моделі, в яких розглядалася динаміка ряду макропеременних, в тому числі ставки відсотка і рівня цін. Природно, що ускладнення об'єкта дослідження (зокрема, врахування взаємовпливу товарного і грошового ринків) призводило до ускладнення моделі: збільшувалася не тільки розмірність відображення, але і число біфуркаційних параметрів.
Виконані нами обчислювальні експерименти свідчать: при збільшенні розмірності моделі ускладнюється поведінка аналізованої динамічної системи, що видно з порівняння рис.4 і 5. Однак основна властивість одновимірного відображення (6) - властивість біфуркації - також притаманне побудованим двовимірному і тривимірному точковим відображенням, моделюючим взаємовплив кінцевого продукту, рівня цін і ставки відсотка. Тут, як і в одновимірному випадку, стан рівноваги макроекономічної системи змінюється циклами періодів 2, 4, 8 і т.д., які переходять в область хаосу; хаотичне зміна змінюється на циклічне з періодами 5, 6 і вище, після чого період може знизитися , потім знову можливо хаотична поведінка і т.д. При цьому область стійкості рівноважного рішення досить вузька (див. рис.5).
Рис.4. Біфуркаційних діаграма одновимірного відображення (6) і її збільшений фрагмент (праворуч). По осі абсцис відкладаються значення параметра A, по осі ординат - значення змінної yt при 490